序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇中學數學論文范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

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分類應該按同一標準進行，也就是每次分類不能使用幾個不同的分類根據。例如：把三角形分為等邊三角形和不等邊三角形是按邊分類的。但是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，這種分類就不正確，此種分類既是按邊分類也按角分類。

2.相斥性原則

分類后的每一個子項應具備互不相容的原則，也就是不能出現有一項既屬于這一類又屬于那一類。例如學校舉行運動會，規定每個學生只能參加一項比賽，初一三班的6名同學報名參加200和400米的賽跑，其中有4人參加200米比賽，3人參加400米比賽，那么就有1人既參加200米又參加400米比賽，這道題目的分類就違背了相斥性原則。

3.完善性原則

分類應當完善，即劃分后子項的總和應當與母項相等。如：有人把實數分為正實數和負實數兩類，這個分類是不完善的，因為子項的總和小于母項。事實上實數中還包括零。

4.遞進性原則

分類后的子項還可以繼續再進一步分類，直到不能再分為止，層次分明。例如實數可以分為無理數和有理數，有理數還可以分為整數和分數，整數又可以分為正整數，零和負整數。我們在運用分類討論的思想解決問題時，首先要審清題意，認真分析可能產生的不同因素，進行討論時要確定分類的標準，每一次分類只能按照一個標準來分，不能重復也不能遺漏，另外還要逐一認真解答。

二、分類思想在初中數學教學中的應用

1.概念分類

例如在學習完負數、有理數的概念后，針對于不同的標準，有理數有多種的分類方法，若按定義來分類有理數可以分為分數和整數，分數又可以分為正分數和負分數，整數又可以分為正整數、負整數和零；若按正負來分類有理數可以分為正有理數、負有理數和零，正有理數又分為正整數、正分數，負有理數又分為負整數、負分數。

2.在解題方法上分類討論

例如：解方程∣x+3∣+∣4-x∣=7解析：對于絕對值問題，往往要對絕對值符號內的內容分為正數、負數、零三種，在此方程中出現兩個數的絕對值；∣x+3∣和∣4-x∣，∣x+3∣應分為x=-3，x＜-3,x＞-3；∣4-x∣應分為x=4，x＜4，x＞4，在數軸上可見該題應劃分為三種情形：①x＜-3，②-3≤x≤4，③x＞4。解：①若x＜-3，化簡-（x+3）+4-x=7得x=-3，與x＜-3矛盾，所以x＜-3時方程無解。②若-3≤x≤4，原方程x+3+4-x=7恒成立，滿足-3≤x≤4的一切實數x都是方程的解。③若x＞4，化為x+3-（4-x）=7，得x=4，與x＞4矛盾，所以x＞4時無解。綜上所述，原方程的解為滿足-3≤x≤4。3.在幾何中圖形位置關系不確定的分類：例如：已知a的絕對值是b絕對值的3倍，且在數軸上a、b位于原點的同側，兩點之間的距離為16，求這兩個數；若數軸上表示這兩數的點位于原點兩側呢？分析：從題目中尋找關鍵的解題信息，“數軸上表示這兩數的點位于原點的同側”意味著甲乙兩數符號相同。那么究竟是正數還是負數，我們應該用分類討論的數學思想解決這一問題。解：由題意得：∣a∣=3∣b∣,∣a-b∣=16

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二、探究小結，聯想創新

馬克思說：“科學教育的任務是教育學生去探索創新。”學生只有通過探究問題，才能發展學生探索精神和創新能力。教學中，教師應在精心設疑的前提下，鼓勵學生從多角度，多方位去探究，可以自主探究，也可以合作探究，讓他們去追求與眾不同，但又合情合理的答案。他們在探究過程會遇到各種各樣的問題，困難，就會產生新的想法，新的見解，從而拓展了他們的學習思路，啟動了學生的聯想思維，培養了他們的創新精神。如在“圓的外心、內心”這一部分，學生通過探究小結，說出了外心的構成：三角形三邊垂直平分線的交點，然后讓學生積極展開聯想，學生就會聯想到幾何中的兩種線：垂直平分線和角平分線，垂直平分線的交點是外心，那角平分線交點會是內心嗎？這樣就培養了他們創造性的發展。還有講四邊形中點連線會構成什么圖形時？讓他們探究說出結論，繼而發散思維，大膽聯想，由封閉式常規性題目經過變式改造，學生會聯想并探索出正方形各邊中點連線是正方形、矩形各邊中點連線是菱形、菱形各邊中點連線是矩形，還可探索出對角線互相垂直的四邊形各邊中點連線是矩形，對角線相等的四邊形各邊中點的連線是菱形，這樣便讓學生對各種四邊形的性質和判定的理解和掌握升華到了一個高度。聯想是思維的翅膀，有效進行聯想訓練，有助于學生保持旺盛的思維生命力，有助于學生克服思維惰性，培養學生各種能力。

三、總體歸納，深入反思

歸納是對學習內容的梳理與概括；反思是完成以上三個環節后，回過頭再進行思考，再對所學知識進行回顧與整合。此環節我們可首先幫助學生梳理知識，弄清楚知識的來龍去脈，以及各知識點之間的相互聯系，使他們所學知識融為一體，然后放開手讓學生在以后學習中學會自己歸納、回顧與反思，要讓學生“在歸納中學習，在學習中歸納”。這樣便能使學生養成一個良好的學習習慣，使他們真正成為學習的主人。培養學生良好的歸納反思習慣，應注意以下幾個方面去著手。

1．歸納、反思所學知識的形成、發展過程。教學知識的形成，一般都是有它的基礎背景的。通過歸納反思、比較，有助于理解清楚數學知識之間的聯系，能夠將知識系統化。

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要化解數學學習抽象性所造成的學習困難，將抽象內容直觀化無疑是一個好的方法。數學的思想方法都是經過數學家的歸納概括抽象而成，教材中呈現的都是最終的結果，體現的是一種“冰冷的美麗”。數學教師的教學所要做的就應該是創造條件，讓學生再次經歷知識（包含數學的思想和方法）的形成，以此促成學生學習過程中的“火熱的思考”。如在教學全等三角形時，通常教師是首先給出一些圖片讓學生觀察，引導學生發現如果將它們疊在一起它們就能重合，從而得出結論：兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形。以上教學設計的實施并沒有對學生理解全等圖形的概念有不利的影響，但學生失去一個了解圖形能夠重合的變化過程，即缺少了過程性體驗，也不利于后續形成有效的“數學化”。如圖1所示，使用超級畫板軟件制作的課件可以“化靜為動”，通過對“平移”“旋轉”“折疊”等變換過程的觀察，學生“看”到兩個圖形能夠重合。這里通過讓圖形自己說話，讓學生通過自己的觀察、討論、總結來得到結論，往往要比觀察靜止圖片的效果更好。此外，通過超級畫板軟件的直觀演示，有利于學生深入理解全等圖形的本質特征，并為今后學習全等圖形的證明打下良好基礎。教師應該在全等三角形的教學中有意識地滲透“對應”的思想。而“對應”是一個比較抽象的概念，學生往往難以一步到位地完全理解和掌握。這種情況下，教師就可以充分發揮信息技術的優勢，制作課件幫助學生理解這一概念。圖2是為介紹“對應”而設計的一個課件片段。教師點擊動畫按鈕就可以使綠色的三角形慢慢移動到藍色三角形的位置，從而在動態演示中幫助學生認識什么是“對應”。除了動畫演示外，還可以通過拖動變量尺的滑條慢慢呈現變化過程，有意識地提示學生分別從邊、角等方面進行觀察總結，進而思考得到結論。以此體現新課程所倡導的讓學生經歷過程性體驗的理念和要求。再比如，初一的學生在遇到判斷“前面帶負號的數一定是負數嗎”這個問題時，由于在小學階段遇到的主要是具體的數，而到了初中開始出現用字母表示數，過去的學習經驗和思維水平的局限導致部分學生在判斷時出錯。為了化解這個學習的難點，數學教師可以使用超級畫板制作“-a一定是負數嗎”的課件，如圖3所示。首先測量出數軸上的任意一點a的橫坐標，修改測量文本的顯示為紅色的“a=”，然后作出數軸上與這個點關于原點對稱的點-a并測量其橫坐標，再修改測量文本顯示綠色的為“-a=”。當拖動紅色的點a不斷改變其值時，會發現a與-a的關系，從而讓學生理解了“-”的意義，也讓他們了解到a代表的數可能是正數、負數、零，應該分類考慮[2]。中學數學教學中要特別重視數學思想方法的教學，而且數學思想方法的教學應該體現在每一堂課和每一個數學問題的研究解決中。在解決上面“前面帶負號的數是負數”問題時就體現了分類討論的思想。但是，學生對這一思想的認識可能需要不斷地深化。因此，課后還可將問題進行延伸，讓學生自主探索a與1/a、a與2a之間的大小關系。這樣既鞏固了知識和思想方法的掌握，又培養了學生的問題探究意識和能力。中學數學里有些內容在過去是說不清的，如一張紙對折30次后有多厚？這個問題很多時候被用來讓學生受到震撼，以此說明經驗的局限性。但230具體有多大，許多人并不了解。實際上這個問題屬于數學的指數增長問題，它的很重要的一個意義在于幫助學生理解指數的爆炸性增長。沒有計算機工具，人們可以用估算的方式得到近似數，但是使用超級畫板，中學數學中面對的一切計算問題就都不再是問題了。與此問題相關的是比較31000和10003的大小。圖4所示是在超級畫板中分別計算的31000和10003的結果。運算結果的呈現，學生可以立馬從觀察結果上領會“爆炸性”的意義，誰大誰小也顯而易見。

2顯示變化，消除疑惑

現實中，不僅是學生，一些中學數學教師也對數學中的一些問題心存疑惑。這些問題的形成有的與教材的編寫有關，如中學數學教材中有許多規定，弄清這些規定的合理性并不是簡單的事情。另一方面，有些問題與數學教學的工具有關。如初中學習繪制二次函數圖像時，為什么在描出五點后用“光滑的曲線”將這些點連接起來？如果利用直線段連接就無法做出二次函數的圖形嗎？由于二次函數圖像是由無窮多個點組成的，而這無窮多個點組成的圖像事實上是一條光滑的曲線拋物線，所以在五點作圖時要用光滑的曲線連接。這里應該是先有“二次函數的圖像是光滑的拋物線”，然后才有“用光滑曲線連接五個點”。傳統教室里，教師用黑板、粉筆授課時用光滑曲線連接的合理性正在于此，而不是一個必須的規定。其實只要描點足夠多，即使用直線段連接仍然可以做出二次函數的比較準確的圖像。圖5、圖6所示課件可用來說明“用光滑曲線連接”的合理性和正確性。圖5是在（-3，3）區間上描9個點后用直線段連接這些點作出的y=x2圖6則是（-3，3）區間上描100個點后用直線段連接這些點作出的y=x2圖像。從兩個圖像中一方面可以看出描點數的多少對函數圖像準確性的影響，另一方面也可以看到哪怕是點之間用直線段連接，只要描點足夠多，一樣可以做出“準確”的二次函數圖像，從而幫助學生加深對“函數圖像實際上是點的集合”的認識。

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二、引導學生針對實際問題建立數學模型

數學學習的最終目的是應用數學知識解決實際中的問題，在教學中，要注重引導學生利用學過的數學知識建立數學模型解決實際中的問題，其中的關鍵是將實際的數學問題轉化為相關的數學知識，使抽象的數學問題具體化、簡單化．例如，某圖書館需要一批書架，到市場購買是890元一件，圖書館自制是590元一件，但需要制作場地和制作設備，得知制作場地及設備的租賃費為5100元，問怎樣獲得這批書架圖書館最合算?對于實際問題的解決，首先，將實際數學情景與數學知識聯系起來進行分析，正確設元．如例題，設圖書館需要書架x件，即得出:商場購買書架需要的支付金額為890x，制作書架需支付的金額為(590x+5100)元．然后對其進行分析，當890x=590x+5100時，圖書館用于購買書架和定制書架的支出相同，通過求解x=17(件)．結合題意分析:當x=17時，兩種方案的結果相同;當x＞17時，購買支出的費用較高，就應考慮選擇制作書架;當x＜17時，購買支出的費用較低，那么選擇購買就劃算一些．在數學知識理論的支持下，圖書館所需的書架數量即使任意發生變化，我們也能得到最佳的定制方案，以確保書架購置成本的最低化．

三、巧建數形模式解決數學問題

數形結合模式在數學解題中非常關鍵，數形的結合往往能使一些困難問題簡單化、復雜問題直觀化．在數學教學中，要善于引導學生將抽象的代數問題與直觀的幾何圖形結合起來進行求解．例如，20個同學去郊游，打算在湖中蕩舟，每艘小船可坐4人，租金是40元，每艘大船可坐6人，價錢是50元，同學們怎樣租船劃算．對于該問題憑想象解決往往是不可靠的，有的同學認為，租2艘大船2艘小船，剛好坐滿，不浪費是最劃算的．有的同學認為租小船劃算、便宜，到底怎樣最合算，不是我們能夠討論出結果的，而應該用“數學的腦子”去思考問題．設租大船x艘，租小船y艘，求解:50x+40y的最小值．結合6x+4y≥20求解．首先分析得出3x+2y≥10(x，y都為整數)結合3x+2y=10的圖形。

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二、應用新型有趣的課堂教學方式

（一）創建輕松愉快的學習環境

教師在教學中的主導作用就是為每一個學生創設形形的舞臺，營造一種師生之間和諧、平等、民主交往的良好數學課堂氛圍，促使學生愉快地學習數學，激發學生對數學問題肯想、敢想的情感。對學生中具有獨特創新想法要特別呵護、啟發、引導，不輕易否定，切實保護學生“想”的積極性和自信心。例如，在教學“數軸”一課時，我利用直觀性教學原理，由三名學生到講臺來表演，（三人站在同一直線上），其中一人表示原點，另外兩人左右移動，表示有理數的加減。這樣的教學方式可以化抽象的數學概念為具體形象的表達，學生容易接受，而且給學生提供了參與教學活動的機會，激發了學習興趣。

（二）適時啟發點撥

在數學教學的過程中，教學的成效不但取決于教師對教材居高臨下的認識水平，深入淺出的講解水平，更取決于教師把教材、教案這些靜態知識轉化為動態信息傳遞給學生的啟導水平。教師要根據學生的年齡特點和認知發展水平，改變教學內容的呈現方式和學生的學習方式，把適合教師講解的內容盡可能變成適合學生探討研究問題的素材。要盡可能給學生多一點思考的時間，多一點活動的余地，多一點表現自己的機會，使學生成為數學學習的主人，這樣才能促使學生逐步從“學會”到“會學”，最后達到“好學”的境界。

三、創新教學中的小結

教學小結是教師和學生雙方在完成一個學習內容或活動時，對知識及其他方面進行歸納總結，使學生對所學的知識納入知識系統，形成數學文化的行為方式。開放性的小結，可以留下問題供學生去思考，鼓勵學生繼續探索，培養學生發散思維能力和數學的探究能力，形成良好的學習品質，實現知識的同化。

（一）學生談學習體會

1.從學習知識的角度，概括本節課的知識結構，強調概念，總結定理、公式及解題的關鍵。如我在講解《直線、射線、線段》一課時，鼓勵學生自己進行小結，結果學生積極踴躍地總結，準確概括出了本節課的三個概念、一個公理。2.從學習的數學思想方法角度，學生總結分析自己的思維過程和解決問題所體現的數學方法、數學思想。如在《數軸》一課中的數形結合思想，讓學生形象地理解了數軸的定義，以及數軸上的點與實數的關系是一一對應的。3.從學習的方法角度，學生總結學習過程中需要注意的問題、分析問題中的常見形式、幾何圖形中的常見輔助線等等。如在《三角形》的學習時，學生能總結出已知角平分線，應做出角平分線上的點到角兩邊的距離，以及“遇中線，加倍延”等等。4.從學習的感受和文化內涵角度，學習的感受就是處理問題的方法，解決問題的策略及在實際生活中的應用，體現的數學建模。如在學習《一次函數》時，學生能夠熟練地利用待定系數法列出方程組，從而求出函數解析式。

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這是一種應用甚廣的基本方法，也是處理多元函數最值問題比較有效的方法。用配方法求最值問題的基本思路是設法將問題通過變式配成若干個完全平方式之和的形式，然后根據一元二次函數的單調性進行求解。例1：2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值為多少？解：原式=（x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10由此可知，當x=2，y=-1時，有最小值-10。例2：求函數y=5sinx+cos2x的最值。解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-54）2+338，可知，取sinx=1，即當x=2kπ（k∈Z）時，ymax=-2×116+338=4，取sinx=-1，即當x=π+2kπ（k∈Z）時，ymin=-2×8116+338=-6。評注：用配方法求最值問題的依據是把問題轉換成二次函數，結合二次函數的圖像來求。在最后一步把數據代入配方得到的式子中要注意自變量的取值范圍，也就是確定定義域的范圍（如例2中對稱軸是x=54而sinx的最大值為1）。這種方法適用于求二次函數的最值或可轉化為與二次函數有關的最值問題。

二、通過均值不等式求最值

均值定理構成的注意事項。首先，我們應當關注如下的預備知識。二元均值不等式：a+b2≥姨ab（a＞0，b＞0，當且僅當a=b時取等號）。三元均值不等式：a+b+c3≥abc3姨，（a＞0，b＞0，當且僅當a=b=c時取等號）。n元均值不等式：a1+a2+…+ann≥a1a2…ann姨（a1＞0，a2＞0，…，an＞0，當且僅當a1=a2=…=an時取不等號）。同時，在運用均值不等式求最值時應注意以下三點。1.函數解析式中各項均為正數。2.函數的解析式中含有變數的各項的和或積必須有一個定值。3.含變數的各項均相等時才能取得最值。例3：求函數y=ax2+x+1x+1（x＞-1且a＞0）的最小值.解：y=ax2+x+1x+1=ax+ax+1+（1-a）=a（1+x）+ax+1+1-2a≥2a（x+1）ax+1姨+1-2a=1，當且僅當a（x+1）=ax+1，即x=0時等號成立，所以y的最小值為1滿足其等號成立的條件，若不滿足則改用其他方法，如單調性。

三、通過數形結合法求最值

數形結合法在中學數學教學過程中的應用十分廣泛，它的主要思路是代數和幾何思想的完美結合。通常是在解決代數問題時，純代數方法有時很難達到目的，這時把幾何的思想滲透進來，往往問題能得到較好的解決。例4：若a、b是小于1的正數，證明：a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2證明：作邊長為1的正方形ABCD，分別在AB、CD上取AE=a，AG=b，過E、G作EF∥AD，GH∥AB，交DC于F，BC于H，EF與GH交于O，連結OA、OB、OC、OD、BD、AC.OA=a2+b2姨，OB=（1-a）2+b2姨，OC=（1-a）2+（1-b）2姨，OD=a2+（1-b2姨）.而OA+OC≥AC，OB+OD≥BD.即a2+b2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥姨2，（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）≥姨2.故a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b）2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2.評注：所有數形結合就是代數與幾何結合起來探尋解決問題的方法。其應用范圍在于用純粹的代數思想很難解決的代數問題時，可借助相關的幾何圖形，根據幾何性質能有助于我們把復雜問題簡單化。

四、利用函數單調性求最值

先判明函數給定區間上的單調性，而后依據單調性求函數的最值。1.對于一次函數、指數函數、對數函數等單調遞增或單調遞減的函數，若定義域的閉區間，如x∈[m，n]，則f（m）與f（n）中較大者為最大值，較小者為最小值。2.求二次函數f（x）=ax2+bx+c在[m，n]上的最值時，先判定對稱軸x=-b2a是否屬于[m，n]，若x=-b2a∈[m，n]，則f（m）、f（n）與f（-b2a）中較大者是最大值，較小者是最小值，若x=-b2a埸[m，n]則f（m）與f（n）中較大者為最大值，較小者為最小值；若二次函數f（x）=ax2+bx+c的定義域為R，當a＞0時，有最小值ymin=4ac-b24a.當a＜0時，有最大值ymax=4ac-b24a.例5：已知函數f（x）定義域為R，為對任意x1，x2∈R的都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-2，試判斷f（x）在區間[-3，3]上是否有最大值和最小值？如果有，試求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由。解：令x1=x2=0，則f（0）=f（0）+f（0），f（0）=0.令x1=x，x2=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，f（x）=-f（-x），f（x）為奇函數。設x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，f（x2）＜f（x1），f（x）在R上為減函數。又f（1）=-2，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，又f（x）在[-3，3]上為減函數，故當x=-3時，f（x）max=f（-3）6，當x=3時，f（x）min=f（3）=-6.評注：利用函數的單調性是求最值問題的常用方法，解題是必須先確定函數的單調區間，各區間的增減性。如y=f（x）+kf（x）或利用基本不等式求最值不能奏效時，往往考慮用函數的單調性來解。單調性法主要是指定義法和導數法，其中以導數法用得最多，主要用于求三次多項式函數的最值和解決實際問題中的最優化問題。

五、利用判別式求最值

這是一種在求分式最值、分子分母含有二次項并且能把函數化成一元二次函數形式的方法。在平常教學中應用頗為廣泛，學生也易掌握。若函數y=f（x）可化成一個系數含有y關于x的二次方程，a（y）x2+b（y）x+c（y）=0.在a（y）≠0時，由于x、y為實數，必須有Δ=[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0，由此求出y的所在范圍確定函數最值。例6：已知函數y=x2-xx2-x+1求其最值。分析：從整體函數看，其自變量為x是二次函數，通過yx2-yx+y=x2-x進而有（y-1）x2+（1-y）x+y=0。因x∈R，然后運用到“Δ”求y的取值從而達到解題目的。解：由y=x2-xx2-x+1得（y-1）x2+（1-y）x+y=0.y=1時x無解，必須使得Δ=（1-y）2-4y（y-1）≥0，-13≤y≤1.y≠1，y最小值等于-13.評注：判別式法主要適用于可化為關于x的二次方程的函數，當x的范圍是R時，僅考慮Δ即可，當x的范圍非R時，還需要結合圖形另解不等式，不能擴大y的取值范圍。

六、利用換元法求最值

所謂換元就是變量替換，是指把一個數學式子中的某一些以另一些與此相關的量去替代，從而使該數學式子變得較為簡單或易于解決的化歸過程，其實質是數集到數集的映射化歸。主要有三角換元和代數換元兩種，用換元時要特別注意中間變量的取值范圍。1.數學式換元。例7：求9（x2-x+1x2+x+1）2+5（x∈R）的最大值與最小值。解：令：x2-x+1x2+x+1=y，去分母得（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）=0，而x∈R，因此該方程的判別式Δ≥0，即（y+1）2-4（y-1）2≥0.解得13≤y≤3.在z=9y2+5中，其函數是增函數，所以當y=13時，函數有最小值6，當y=3時，函數有最大值86。例8：求y=姨x+2+12x+8（x＞-2）的最大值。分析：此題為含根號的分式函數，不能直接運用均值不等式求最值，考慮分子常數化，變形后對分母用均值不等式。解：設姨x+2=t，則x=t2-2，故y=12•t+1（t+1）2-2（t+1）+3=12•1（t+1）+3t+1-2≤12•12姨3-2=姨3+18，當且僅當t+1=3t+1且t＞0，即t=姨3-1，x=2-2姨3時，等號成立，即所求的最大值為姨3+18.2.三角換元。三角函數中的求最值問題因其注重數學知識間的交叉、滲透，解法靈活多變，突出對思維的靈活性和嚴密性的考察，歷來都是高考中的常見題型。學生在解決這些問題的過程中常常由于個別環節上的疏漏而導致失誤丟分。下面通過對典型錯解例題的剖析，揭示題型規律，提高解題的準確性。例9：已知a2+b2≤2，c2+d2≤4，求ac+bd的最大值。分析：若這道題直接運用不等式進行解題可能會產生錯解，因為2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2，所以ac+bd≤a2+b2+c2+d22=3但其中取等號的條件a=c，b=d才能成立。于是得到a2+b2=c2+d2，與已知相矛盾。在這種情況下，我們應用三角函數替代得到a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，代入原式得到一道簡單的三角函數題。解：設a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，則ac+bd=2姨2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2姨2cos（α-β）≤2姨2，當且僅當cos（α-β）=1時，即（a=b=1，c=d=姨2或a=b=-1，c=d=-姨2成立時取等號），ac+bd的最大值為2姨2.評注：換元的方法形式多種多樣，有的甚至涉及到多步換元或多種換元相互運用，我們要注意的是不管怎樣變換，其變換的取值范圍都不能改變。這種方法有助于我們把復雜的式子簡單化，利于我們求解。

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當前國際競爭日益激烈，國與國之間的科技比拼已經到了白熱化的階段。從實質上講，國與國之間的競爭不僅僅是國家實力上的競爭，更是涉及到創造性人才的競爭。國家實力只是暫時的，而創造性人才所帶來的財富卻是長遠的。我國仍處于發展中國家，就是緣于我國的創造能力較發達國家相對更弱。只有從中國制造轉化為中國創造才能實現我國的崛起。因此，培養學生創造性思維是時代進步的需要，也是社會發展的需要。

2.新世紀教育改革的要求

培養有個性、有創造力的人才是新世紀教育改革的重要標志之一。創造力便是創造性思維和能力的統一，這兩者缺一不可。培養創造性思維是提高創造力的前提，只有在中學乃至于小學階段就將創造性思維培養成形，才能夠在日后成長為具有創造力的人才。這是我國的教育方針，也是受益于每個學生的教育改革。因此，培養學生創造性思維是新世紀教育改革的要求。

3.培養全面型人才的必然選擇

我國并不是缺乏人才，只是缺乏全面型和創新性人才。目前我國社會就業競爭激烈，如何在社會立足已經成為眾多學生的難題。唯有提高自身綜合素質，培養自身創造性思維才能夠實現突破。提高就業率首先就要提高人才綜合素質，這對于個人和企業乃至社會都是一件百益而無一害的事。因此，培養創造性思維是培養全面型人才的必由之路。

4.數學是思維的學科，是創造性思維的根據地

在中學階段，唯有數學是真真正正能夠鍛煉培養學生創造性思維的學科。數學的教與學的過程就是一個完整的思維過程，在這個過程中無論是老師還是學生就需要進行大腦的不斷運轉，思維的不斷跳躍。正是充分地鍛煉了學生的思維，所以才能夠成為培養學生創造性思維的根據地。正如有學者所說，數學也就是思維的體操，以思維帶動創造性思維的發展，對于老師來講更易轉換，對于學生而言更易于接受。因此，在數學課堂培養中學生創造性思維是再合適不過了。

二、如何在數學教學中培養學生的創造性思維

1.樹立創造性教學的新觀念

我國的教育自孔子而興起，孔子就注重“因材施教”、“有教無類”、“教學相長”這些觀念在今天仍不過時。與此同時，作為新世紀的老師，需要著重注意師生關系的轉換。長久以來，師與生之間的關系也就是教與學的關系，更直接的可以說是主動與被動的關系。學生在課堂上往往處于被動的地位，老師是正確與否的評判者，也是整個課堂的主導者。然而，學生往往會在一次又一次的被動之中喪失點創造性思維。因此，教師要從根本上樹立起創造性教學的新觀念，與學生一起探討問題，傾聽學生的意見。在潛移默化之中讓學生成為課堂的主人，進而使得學生的思維進行鍛煉，沒有了限制與扼殺，學生們的創造性思維會大放異彩。

2.注重教學方法多樣性

注重教學方法的多樣性也是培養中學生創造性思維的一個重要方法。分組學習，競賽學習，討論學習等多種多樣的教學方式既能避免學生對于單一的課堂教學的倦怠，還能夠調動同學們的積極性，活躍課堂氣氛。在氣氛輕松的環境中，往往更容易激發人的創造性思維。而在討論學習過程中，通過老師與學生的討論，學生之間的討論，不同的思維進行碰撞，勢必能夠碰撞出靈感的火花。探索是數學的生命線，在多種多樣的教學方法下，學生們對于數學的探索欲望便加深了，進而對于學生們的創造性思維的提高也有著積極的幫助。

3.在應用中鍛煉學生創造性思維

數學的教學離不開應用。應用教學是數學課堂中至關重要的一環，在具體的情境中解題，也是數學的魅力之所在。而培養創造性思維的最終目的在于使學生能夠在生活的應用中發揮創造性思維，更重要的便是學以致用。因此，在數學的應用中鍛煉學生的創造性思維更貼近于應用的目的，也是高效的培養方法。例如將拱橋和拋物線聯系起來，將購物與最佳方案類型的題目聯系起來，開放型的應用，能夠讓學生們發揮想象的翅膀，在創造的世界里自由翱翔。

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二、培養學生承受困難的能力

當今社會競爭越來越激烈，決定一個人能否出于成功往往不在于他們平時能考多少分，而是他們面對困難和挫折的能力。數學的抽象化使得它不像學習別的課程那么直接，數學學習的過程是一個枯燥的過程。但是就是這個數學學習的過程，可以培養學生的刻苦鉆研的精神。同時也是對學生毅力和耐力的一種磨練，在學習和生活中，一個人不可能一帆風順，不可能碰不到一點挫折，這樣就需要學生有一定的心理承受能力和面對困難時不退縮、不回避的態度。

三、中學數學教育的現狀

數學在國民經濟中起著越來越重要的作用。不僅包括自然科學，也包括社會科學所涉及的各個領域，甚至還涉及技術、經濟建設乃至社會的許多領域。特別是當今時代，科學技術迅猛發展，科學數學化的趨勢越來越明顯，現代科學正朝著廣泛應用數學的方向發展。目前中學數學教育的現狀仍然使人堪憂，數學競賽、奧數等一些競賽性質的數學參與方式的出現，使得數學教育的功利性和急于求成性暴漏在人們眼前。這樣會使學生形成學習數學就是為了能拿到高分和參加競賽獲得好名次的假象。這樣的教育方式和教育結果，只體現了數學教育內容的基本內容，而忽視了后面兩個同時也是很重要的內容。

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(一)創生活情境，活躍課堂氣氛，培養學生的學習興趣

在數學教學中往往有這樣的情況發生，無論老師講得多再理，分析得多貼切，卻不能引起學生的興趣，不能調動課堂的氣氛，無法讓學生完全領略這堂課的知識。我是怎樣來活躍課堂的呢？例如，我在講“圓的認識”時，我從古代的大馬車，秦朝兵馬俑中的戰車，近代的三輪車，現代的各種各樣的汽車、火車、貨車及至豪華轎車，找到很多圖片，讓學生從外形上去比較，感知人類的進步和文明的發展。不論是哪一個年代、哪一種作用、哪一種形狀的車，為什么車輪都是一成不變的圓形呢？這一問題的提出，學生的興趣立即被提了起來，學生們結合自己的生活經驗，各抒己見，紛紛把自己的意見提出來供大家分享，課堂的氣氛一下子就活躍起來了，從而使學生對圓產生了濃厚的興趣，也激發了學生主動探索圓的性質和心理。也增強了學生學習數學的主動性。[1]

(二)讓學生感受到數學的有用性，積極主動利用數學知識來解決生活中的實際問題

數學是生活的一種語言，也是認識世界的一個窗口，在我們的日常生活中應用數學來解決日常生活中出現的問題是我們應具有的最基本的素質之一。數學來源來生活，更應用于生活。例如，我在“點和圓的位置關系”教學中，為了讓學生體會到成功的應用數學知識解決實際問題的快樂，我設計了下面的習題：一所學校在直線L上的A處，在直線L上離學校180M的B處有一條公路M與直線L相交成30°,一貨車在公路上行駛，已知貨車行駛時周圍100M的圓形區域內會受到噪音的影響。（1）請問學校是否會受到該貨車噪音的影響？并說明理由。（2）如果你是這所學校的學生，你會有怎樣的想法呢？這樣一來，讓新的知識與實際生活緊密的結合起來，既促進了學生對點與圓的位置關系的認識，又讓學生感受到貨車以及其他交通工具對人們的危害，培養了學生們的環保意識，也讓數學教學收了意想不到的效果。

(三)拓展生活實踐，打造數學知識的運用平臺

認為：“人是歷史的創造者，又是歷史的劇中人”，這就是說，人必然要受到社會歷史的制約，但又并不是完全受社會關系的擺布的被動生存物，他能夠自覺地、能動地認識和改造社會，使社會環境有利于自身的發展。人是社會的主體，是推動社會發展的根本力量。沒有個體的認識和實踐活動，也就沒有社會歷史。人在社會中的發展應是在全面發展的基礎上“個人獨創的自由的發展”，馬克思特別強調人的“自由個性”。人的全面發展同時也是人的自由發展；全面發展的個人，同時也應該是具有個性和主體性的人。同志也肯定學生在教學過程中的主體地位，也肯定了主動性和能動性，主張讓學生“生動活潑地、主動地得到發展”。在數學教學的實踐中，教師的教學要服務于生活，將學生把學到的知識返回到生活中去，讓數學知識的運用過程生活化、興趣化、具體化。用生活中的實踐來彌補課堂內學不到的知識，滿足學生的求知欲。產生教與學的共鳴，同時在生活的實踐中用數學知識來解決實際問題。

（四）培養學生自主留意生活中的數學

數學是生活的色彩，在我們日常生活中，隨時隨地都會出現數學的身影，只要你留意，她就會出現在你身邊。比如，增長率、企業成本秘利潤的核算、市場的調查與分析、比賽場次的安排等，隨時都可以讓學生感受到數學應用的廣泛性，并明確的知道數學知識的應用能更好的幫助他們認識自然與我們的人類社會，更好的適應生活，更有效地進行表達與交流。教師應鼓勵學生大膽地去發現、有效的提出生活中的問題，并運用數學知識去解決生活中的問題。久而久之，學生就會感覺到數學知識的樂趣，就會想去發現、去創造，產生學習數學的渴望。

二、注重交流，凸顯學生的主體作用

新課程標準明確指出：“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參于、樂于探究、勤于動手、培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力。”在中學數學教學中，教師應引導學生運用適當的數學語言，交流各自的認識和體會，討論大家在學習中遇到的困難，學生相相互提問、答問、論述、證明和反駁，從而在交流中不斷探究，在探究中不斷創新。只有通過交流，才能凸顯學生的主體作用，如果沒有交流，學生的思維得不到發散，探究創新與提高能力都將成為空談。所以我們在數學教學中，如能把新課程理念的要求做到身體力行，才能讓學生真正成為學習的主人。比如，在學習《等腰三角形》時，我設計了這幾個小活動：1.實踐觀察，認識等腰三角形。讓學生從折紙、剪紙中得到等腰三角形的基礎概念，感知等腰三角形的對稱性；2.探索等腰三角形的性質。如：從剪出的等腰三角形ABC中沿折痕對折，找出其中重合的線段和角并填表，填完表同組互相探討。3.作業反饋。當堂作業，鞏固知識，當堂小組交換批改，然后班級交流。可以看出這三個教學步驟都是由小活動組成的，而每個活動都是由學生們的自動和互動來完成的，這就充分發揮了學生在課堂上的主體作用。[4]通過這樣的學習，讓學生從學會向會學轉變。學生變成了充滿活力的生命體，可以領悟到的是：讓學生真正成為學習的主體，是要為學生提供足夠的時間，讓大家相互合作交流，才能讓學生自主的去探究學習。

三、提倡民主，積極發言

數學課程教學是師生共同學習、探索的一個過程，在教學過程中，學生對問題的回答、知識的理解和接受都有一個對與錯的過程，在學習中出現錯誤也是在所難免的。數學本身就是一門活躍的課程，對數學中的問題從不同的角度思考就會有不同的解法。而每一位學生對同一個問題他的思考方式也不盡相同，必然導致解法上會存在差異，甚至于有的學生的解法比老師的都還要精辟。可見在教學中應提倡民主，鼓勵有不同意見。獨立思考能增強學生學習的信心，同時對進一步張揚學生的主體性也起到了積極的作用。[5]具體來說應采取什么樣的原則呢？1.鼓勵討論、辯論，遇到學習上有爭議性的問題，都不直接給答案，而是應該讓學生對此發表各自的觀點和看法，在學生的討論或辯論中得出答案，讓學生在交流的過程中體會到通過自己的努力而解決了問題的自豪感，讓他們覺得學習是愉快的。2.錯也是一種美，鼓勵學生在上課的時候多發言，不要因為答錯了而對學生全盤否定，否則會導致學生喪失自信。而教師則應該恰當給答錯了的學生以必要的表揚，引出了為什么答錯了的爭議，再從爭議上去思索正確的答案，通過同學們積極的發言帶動了課堂氣氛，即便他回答錯了也不會覺得尷尬。氣氛被帶動了，學生的主體性也帶動了。3.鼓勵有創意的學生，對學生的創新解題進行鼓勵是凸顯學生主體性很關鍵的一點。特別是學生的思路比老師的還要好的時候，更應該大力的表揚，證明學生已經會學數學這門課程，也讓學生能永遠對數學這門學科保持積極的心態。

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數學教育的一個重要任務就是培養學生的數學思維能力。努力提高學生的數學思維能力.不僅是數學教育進行“再教育”的需要，更重要的是培養能思考，會運籌善于隨機應變.適應信息時展的合格公民的需要。本文從數學思維的特征，品質出發.結合中學數學教育的實際.探討了中學數學教育如何有效地培養學生數學思維能力的問題.

1、數學思維及其特征

思維就是人腦對客觀事物的本質、相互關系及其內在規律性的概括與間接的反映。而數學思維就是人腦關于數學對象的思維.數學研究的對象是關于現實世界的空間形式與數量關系.因而數學思維有其自己的特征.

第一，策略創造與邏輯演繹的有機結合。一個人的數學思維包括宏觀和微觀兩個方面。宏觀上.數學思維活動是生動活潑的策略創造.其中包括直覺、歸納、猜測、類比聯想、合情推理、觀念更新、頓悟技巧等方面，微觀上，要求數學思維具有嚴謹性.要求嚴格遵守邏輯思維的基本規律.要言必有據，步步為營，進行嚴格的邏輯演繹。事實上.任何一種新的數學理論.任河一項新的數學發明.只靠嚴謹的邏輯演繹是推不出來的.必須加上生動的思維創造.諸如特殊化一般化.歸納、類比、頓悟等等。一旦有了新的想法.采取了新的策略.掌握了新的技巧.通過反復深入地提出猜想.加以修正.不斷完善.才有可能產生新的數學理論。也可以說.數學思維過程總是似真推理與邏輯推理相互交織的過程。似真推理起著為邏輯思維探路.定向的作用.可以用來幫助在數學領域中發現新命題.提出可能的結論.找到解題的途徑與方法等。其中.類比推理和不完全歸納推理更是兩種重要的策略推理形式;而邏輯推理則是似真推理的延續和補充.由似真推理所獲得的結論.往往需要借助邏輯推理作進一步的論證、證實。因此.數學思維只有將策略創造與邏輯演繹有機結合.才能顯示出強大的生命力。

第二、聚合思維與發散思維的有機結合。發散思維是指從不同方向、不同側面去考慮問題，從多種途徑去求得解答的一種思維活動.它是創造性思維的一個重要特征.其特點是具有流暢性、變通性和獨特性。通常所說的一題多解.多題一解.命題推廣、升維策略、降維策略等都于這方面的反映。聚合思維是以“集中”為特點的一種思維.其特點是具有指向性、比較性、程性等論文開題報告范例。在數學思維活動中，這兩種思維也是常常被交替使用的。在解決一個較為復雜的數學問題時，為了探查解題思路.人們總是要將思維觸角伸向問題的各個方面.考慮各種可能的解模式.并不斷地進行嘗試.設法找到具體的思路.在探測思路的過程中.又要對具體問題進行具體分析，要集中注意力初中數學論文，集中攻擊目標，找到問題的突破口或關鍵。因此，在數學教學中.要注將聚合思維與發散思維有機結合，特別要重視發散發性思維的訓練。

2、數學思維品質

數學思維能力高低的重要標志是數學思維品質的優劣，為了提高學生的數學思維能力，弄清數學思維品質的內容是必要的，但對這個問題的爭論很多，我們認為數學思維品質至少應包含以下幾個方面的內容。

第一，思維的靈活性，它是指思維轉向的及時性以及不過多地受思維定向的影響。善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來。思維靈活的學生，在數學學習中，善于進行豐富的聯想，對問題進行等價轉換，抓住問題的本質，快速及時地調整思維過程。

第二，思維的批判性。它是指對已有的數學表述或論證提出自己的見解，不是盲目服從，對于思想上已經完全接受了的東西，也要謀求改善，包括修正、改進自己原有的工作，事實上，數學本身的發展就是一個“不斷提出質疑，發現問題、提出問題進行爭論。直到解決問題的過程。

第三、思維的嚴謹性。它是指考慮問題的嚴密、準確、有根有據。在思維過程中，善于運用直觀的啟迪，但不停留在直觀的認識水平上;注重運用類比、猜想、但不輕信類比，猜想的結果;審題時不但要注意明顯的條件.而且要挖掘其中隱含的不易被察覺的條件:運用定理、公式時要注意定理、公式成立的條件;在概念數學中初中數學論文，要弄清概念的內涵與外延.仔細區分相近或易混的概念，正確地運用概念，在解決問題時，要給出問題的全部解答，不重不漏，這些都是思維嚴謹性的表現。

第四、思維的廣闊性。它是指思維的視野開闊，對一個問題能從多方面洞察。具體表現為對一個事實能從多方面解釋.對一個對象能用多種方式表達，對一個題目能想出各種不同的解法.等等。如果把數學比作一座大城市.那么它間四面八方延伸的大路.正好表現出數學思維發展和應用的廣闊性。

第五、思維的深刻性。它是指數學思維的抽象邏輯性的深刻程度.是抽象慨括能力的重要標志.它以抽象思維為基礎.對事物在感性認識的基礎上.經過“去粗取精.去偽存真，由此及彼.由表及理”的加工制作.上升到理性認識。它要求人們在考慮問題時，一入門就能抓住事物的本質.把握事物的規律.能發現常人不易發現的事物之間的內在聯系。

第六、思維的敏捷性。它是思維速度與效率的標志.它以思維的合理性為基礎.所謂合理性.主要反映在解決問題時.方法簡明.單刀直入，不走彎路，?辣荃杈叮快速獲?.它往往是思維深刻性.靈活性的派生物。

第七、思維的獨創性。它以直覺思維和發散思維為基礎，善于對知識、經驗從思維方法的高度上進行概括，靈活遷移.重新組合，在更高的層次上作移植與雜交.思人所未思.想人所未想，具有思維新穎，別具一格.出奇制勝，異峰突起，獨樹一幟等特點。

以上，我們列舉了數學思維品質的幾個方面.這些方面是相互聯系.互為補充的，是一個有機結合的統一體。數學教育中.要根據不同的素材.靈活選擇恰當的教學方法.有意識、有計劃、有目的的培養學生的數學思維品質。

3、培養學生數學思維品質的教學方法

數學教育必須重視數學思維品質的培養;數學教育也有利于培養學生良好的思維品質。蘊含在數學材料中的概念、原理、思想方法等.是培養學生良好思維品質的極好素材.作為數學教師，只有在培養學生的思維品質方面下功夫.方能有效地提高數學教學的質量。

第一、應使學生對數學思維本身的內容有明確的認識，長期以來，在數學教學中過分地強調邏輯思維，特別是演繹邏輯初中數學論文，都是教師注重給學生灌輸知識.忽視了思維能力的培養.只注重結論，忽視了知識發生過程的教學，造成學生機械模仿，加大練習量，搞“題海戰術”，抑制了學生良好的數學思維品質的形成。我們應當使學生明白，學習數學，不僅僅是為了學到一些實用的數學知識，更重要的是得到數學文化的熏陶。其中包括數學思維品質.數學觀念.數學思想和方法等，因此，數學教師必須從培養學生的優秀思維品質出發.沖破傳統數學教學中把數學思維單純理解為邏輯思維的舊觀念，直覺、想象、合情推理、猜測等非邏輯思維也作為數學思維的重要組成部分.在數學教學中，要通過恰當的途徑，引導學生探索數學問題，要充分暴露數學思維過程，這樣，數學教育就不僅僅是賦予給學生以“再現性思維”.更重要的是給學生賦予了“發現性思維”。

第二、優化課堂教學結構，實現思維品質教育的最優化。優良思維品質的培養，是滲透在數學教育的各個環節之中的，但中心環節是在課堂教學方面論文開題報告范例。因此.我們必須緊緊抓好課堂教學這個環節。在課堂教學中，學生的思維過程，實質上主要是揭示和建二新舊知識聯系的過程當然也包含了建立新知識同個體的新的感知的聯系。在這里我們要特別強調知識發生過程的教學。所謂知識發生過程，通常指的是概念的形成過程，結論的探索與推導過程.方法的思考過程。這些實際上是學生學習的主要思維過程，為了加強知識發生過程的教學，我們可從如下幾個方面著手:首先.要創設問題情境.激起意向.弓i_起動機。思維處問題起初中數學論文，善于恰到好處地建立問題情境，可以調動學生的學習積極性，使之開啟思維之門其次.要注重概念形成過程的教學。概念是思維的細胞.在科學認識中有重大作用。因此，數學教學必須十分重視概念的準確度與清晰度。概念的形成過程是數學教學中最重要的過程之一。那種讓學生死記硬背概念.忽視概念形成過程以圖省事的做法是實在不可取的。有經驗的教師把概念的形成過程歸結為.“引進一醞釀一建立一鞏固一發展”這樣五個階段，采用靈活的教學方法.取得了良好的教學效果最后.要重視數學結論的推導過程和方法的思考過程。數學教學中的結i侖通常是通過歸納、類似、演繹等方法進行探索的，我們要善于發現隱含于教材內容中的思維素材.有意識地讓學生自己去發現一些數學結論，幫助學生掌握基本的數學思想和方法。比如分析法.綜合法.類比法.歸納法.演譯法，映射法(尤其是關系映射反演原則)，反證法，同一法等等。數學方法的思考過程其實就是解決問題的思維過程。教師要通過對具體問題的分析.引導學生掌握從特殊到一般.從具體到抽象再到更廣泛的具體等一般的思考問題的方法。

第三、激發學生數學學習的動力.重視數學的實際應用.喚起學生學習的主動性和自覺性數學學習的動力因素包括數學學習的動機、興趣、信念、態度、意志、期望、抱負水平等。數學學習的動力因素不僅決定著數學學習的成功與否.而且決定著數學學習的進程:不僅影響著數學學習的效果，而且制約著數學能力的發展和優秀數學品質的形成。事實證明.在數學上表現出色的學生，往往與他們對數學的濃厚興趣.對數學美的追求.自身頑強的毅力分不開因此，在數學教學中，教師要利用數學史料的教育因素.數學中的美學因素.辯證因素.困難因素.以及數學的廣泛應用性等，不斷激發學生的學習興趣，激勵學生勇于克服困難.大膽探索鼓勵學生不斷迫求新的目標，不斷取得新的成功。

參考文獻：

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