序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)中的反證法范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

在生活中，我們都有這樣的常識，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來；一種是用間接的方法――淘洗法，把砂粒殘留下來.這兩種方法雖然形式不同，但結(jié)果卻是一樣的，都能達(dá)到去掉砂粒的目的.有時用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”當(dāng)一些命題不易從正面直接證明時，就可考慮用反證法.

一、反證法的基本概念

1.反證法的定義

法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對反證法的實(shí)質(zhì)做了如下概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾.”這是對反證法的極好概括.其實(shí)反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡單的題目，在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，在解決一些較難問題的時候，反證法能體現(xiàn)其優(yōu)越性.

2.反證法的基本思想

反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：

“否定推理矛盾肯定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定.

3.反證法的邏輯依據(jù)

通過以上三個步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據(jù)就在于形成邏輯的兩個基本規(guī)律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假.再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的.

二、反證法的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1.反設(shè).假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；

2.歸謬.從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3.結(jié)論.由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確.

即：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾結(jié)論成立.

三、反證法的種類

1.歸謬反證.結(jié)論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達(dá)到證題目的.

2.窮舉反證.結(jié)論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達(dá)到證題目的.

四、反證法的典型例題

例1：已知：AB，CD是圓內(nèi)非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.

證明：假設(shè)AB與CD互相平分與點(diǎn)M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯(lián)結(jié)OA，OB，OM.

因?yàn)镺A=OB，M是AB中點(diǎn)，所以O(shè)MAB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OMCD，從而過點(diǎn)M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.

五、反證法的使用條件

任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應(yīng)該學(xué)會正確使用反證法解題.

雖然用反證法證明，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.

例2：如果對任何正數(shù)p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)a=0，試證之.

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯了.因?yàn)椋绢}的題設(shè)條件為對任意正數(shù)p，y=0有兩個正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是a=0，但本題的題設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的；當(dāng)a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數(shù)p，它只有一個根；在b=0時，僅當(dāng)p=-c>0的條件下，它有無數(shù)個根，否則無根，但總之不會有兩個根.題設(shè)條件和結(jié)論矛盾.因此，本題不能反證法來處理.若原題改為“如果對于任何正數(shù)p，只存在正實(shí)根，則系數(shù)a=0”，就能用反證法證明.

因此，對于下列命題，較適用反證法解決.

（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無定理可以引用的命題.

例3：設(shè)a，b都是正數(shù)，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

證明：反設(shè)ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有l(wèi)n（a/b）≥（a-b）/b，由對稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反證法是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”它是從命題的否定結(jié)論出發(fā)，通過正確的邏輯定理推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因?yàn)樗鼘Y(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，多一個條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的.對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過逆向思維，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題就能迎刃而解.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙振威.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法[M].華東師范大學(xué)出版社，2000.

[2]劉世澤.反證法的邏輯依據(jù)[J].高等函授學(xué)報(bào)，1997（4）.

[3]耿素云.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]趙杰.反證法―――化難為易的法寶.中學(xué)生數(shù)理化（高二版），2010，（3）.

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中圖分類號：G633.6？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0077-02

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法應(yīng)用相當(dāng)廣泛。怎樣正確運(yùn)用反證法是一個難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無法入手的題目，用反證法就會使證明變得輕而易舉。

一、反證法原理及解題步驟

1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設(shè)某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結(jié)論，從而得出原假設(shè)不成立，原命題得證。總的來說反證法就是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過正確嚴(yán)格的推理，得到與已知假設(shè)或已成立的數(shù)學(xué)命題相矛盾的結(jié)果，從而得到原命題的結(jié)論是不容否定的正確結(jié)論。

2.反證法的解題步驟。在中學(xué)數(shù)學(xué)題目的求解證明過程中，當(dāng)直接證明一個命題感到困難時，我們經(jīng)常采用反證法的思想。由此，我們總結(jié)出用反證法證明命題的三個步驟：①提出假設(shè)：做出與求證結(jié)論相反的假設(shè)。②推出矛盾：與題設(shè)矛盾；與假設(shè)矛盾；恒假命題。③肯定結(jié)論：說明假設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。數(shù)學(xué)問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結(jié)合實(shí)例總結(jié)幾種常用反證法的情況。

二、反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

反證法雖然是在平面幾何教材中提出來的，但對數(shù)學(xué)的其他部分內(nèi)容如代數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來證比較方便的命題。

1.基本命題。基本命題就是學(xué)科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推出的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時應(yīng)用反證法容易奏效。

例1 求證：兩條相交直線只有一個交點(diǎn)。已知：如圖，直線a、b相交于點(diǎn)P，求證：a、b只有一個交點(diǎn)。證明：假定a，b相交不只有一個交點(diǎn)P，那么a，b至少有兩個交點(diǎn)P、Q。于是直線a是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，直線b也是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，即由P、Q兩點(diǎn)確定了兩條直線a，b。

與已知公理“兩點(diǎn)只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個交點(diǎn)，于是兩條相交直線只有一個交點(diǎn)。

2.否定性命題。否定性命題，也就是結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，即結(jié)論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易人手，而運(yùn)用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。

3.存在性問題。在存在性問題中，結(jié)論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來證明。

例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個不小于1。證明：假設(shè)a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5

4.無窮性命題。無窮性命題是指在求證的命題中含有“無窮”、“無限”等概念時，從正面證明往往無從下手時，我們常使用反證法。

例3 證明■是無理數(shù)。證明：假設(shè)■不是無理數(shù)，那么■是有理數(shù)，不妨設(shè)■=■（m，n為互質(zhì)的整數(shù)）， m2=3n2，即有m是3的倍數(shù)，又設(shè)m=3q（q是整數(shù)），代人上式得n2=3q2，這又說明n也是3的倍數(shù)，那么m與n都是3的倍數(shù)，這與我們假設(shè)m、n互相矛盾，■是無理數(shù)。

5.唯一性命題。有關(guān)唯一性的題目結(jié)論以“…只有一個…”或者“……唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題，用反證證明，常能使證明過程簡潔清楚。

例4 設(shè)0

從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0

三、應(yīng)用反證法應(yīng)該注意的問題

對于同一命題，從不同的角度進(jìn)行推理，常常可以推出不同性質(zhì)的矛盾結(jié)果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復(fù)雜，有簡單快捷，因此，在用反證法證明中，應(yīng)當(dāng)從命題的特點(diǎn)出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)耐评矸椒ā?/p>

1.必須正確“否定結(jié)論”。正確否定結(jié)論是運(yùn)用反證法的首要問題。

2.必須明確“推理特點(diǎn)”。否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測的。一般是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮，這正是反證法推理的特點(diǎn)。只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一出現(xiàn)，證明即告結(jié)束。

3.了解“矛盾種類”。反證法推理過程中出現(xiàn)的矛盾是多種多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質(zhì)）相矛盾，可能與臨時假設(shè)矛盾，或推出一對相互矛盾的結(jié)果等。

反證法是一種簡明實(shí)用的數(shù)學(xué)解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)會運(yùn)用反證法，它可以讓我們掌握數(shù)學(xué)邏輯推理思想及間接證明的數(shù)學(xué)方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的習(xí)慣。我認(rèn)為，只有了解這些知識，在此基礎(chǔ)上再不斷加強(qiáng)訓(xùn)練，并不斷進(jìn)行總結(jié)，才能熟練運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

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[3]張安平.反證法――證明數(shù)學(xué)問題的重要方法[J].教育教學(xué)，2010，1（11）：179-180.

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一、什么是反證法

反證法也稱作歸謬法，通常人們是這樣定義反證法的：“證明某個命題時，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果。從而證明了結(jié)論的否定不成立，間接地肯定了原命題的結(jié)論成立。這種方法就叫做反證法。”在使用反證法的時候，通常通過以下步驟：“否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾結(jié)論成立。”反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較淺顯的題目，在高中數(shù)學(xué)中使用得較為廣泛，在解決較難的問題的時候，反證法更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。

二、反證法解決的常見題型

反證法雖然簡單方便，但是任何方法的使用都有它成立的條件，都有它適用的范圍。如果超越了使用的范圍就會出現(xiàn)解題錯誤，解題方法也就不再適用，同樣，也就會影響解題的成功率。因此，我們應(yīng)該學(xué)會正確使用反證法來解題。

1.否定性問題

例題1：如果a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，求證：，，不成等差數(shù)列。

分析：因?yàn)轭}目所證的結(jié)論是一個否定性的結(jié)論，如果直接證明的話讓人有點(diǎn)無從下手，但是采用反證法就顯得容易多了。

證明：假設(shè)，，成等差數(shù)列，則=+=，

由于a，b，c成等差數(shù)利，因此2b=a+c①，那么，==，即b=ac②，由①②得出，a=b=c，與a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)矛盾。故，，不成等差數(shù)列。

點(diǎn)評：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果出現(xiàn)以下幾種情況可以考慮使用反證法來解題：第一，題目是用否定形式敘述的；第二，題目選擇使用“至多”、“至少”等文字?jǐn)⑹龅模坏谌}目成立非常明顯，而直接證明時所用的理論較少，且不容易說明白的；第四，題目呈現(xiàn)唯一性命題特征；第五，如果題目的論證從正面較難入手證明，可以選擇使用反證法。

2.某些存在性命題

例題2：假設(shè)設(shè)x，y∈（0，1），求證:對于a，b∈R，必存在滿足條件的x、y，使|xy-ax-by|≥成立。

分析：本題主要是探索某些存在性問題，可以嘗試用反證法。

證明：假設(shè)對于一切x，y∈〔0，1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0，y=1，則|b|＜令x=1，y=0，得|a|＜令x=y=1，得:|1-a-b|＜，但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=產(chǎn)生矛盾，故欲證結(jié)論正確。

例題點(diǎn)評：在證明此類存在性命題的時候，使用反證法只要其中一個結(jié)論，就可以論證題目當(dāng)中的結(jié)論的合理性，比直接證明省掉了一個證明的步驟，顯得更為簡單、明了。

3.結(jié)論為“至多”、“至少”的命題

雖然反證法是一種很積極的證明方法，用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如適用范圍廣、思想選擇的余地大、推理方便等。但是并不是每一道題都能用反證法來解的。比如對以下兩個例題的分析。

例題3：若z，y均為正整數(shù)，且z+y>2．求證：＜2或＜2中至少有一個成立。

分析：一般而言，如果題目中出現(xiàn)“至少”或者“至多”的字眼，選擇使用反證法要簡單一些。

證明：假設(shè)≥2與≥2同時成立，因此，x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，1+y≥2x。

將以上兩式相加得z+y≤2，這與已知條件z+y＞2矛盾，因此可以證明這個假設(shè)不成立。

因此，可以得出＜2或＜2中至少有一個成立。

例題4：如果對任何正數(shù)p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)，試證之。

證明：假設(shè)a＞0，則二次函數(shù)y=ax+bx+c+p的圖像是開口向上的拋物線，顯然可見，當(dāng)p增大時，拋物線就沿y軸向上平移，而當(dāng)p值增大到相當(dāng)大的正數(shù)時，拋物線就上開到與x軸沒有交點(diǎn)，則對這樣的一些p值，二次方程的實(shí)數(shù)根就不存在。因此，a＞0，這一假設(shè)與已知矛盾。

同理，a＜0，也不合題意。

綜上所述，當(dāng)a＞0和a＜0時均不合題意。因此，a=0。

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯了。因?yàn)椋绢}的題設(shè)條件為對任意正數(shù)p，y=0有兩個正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是a=0，但本題的題設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的。

當(dāng)a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數(shù)p，它只有一個根；在b=0時，僅當(dāng)p=-c＞0的條件下，它有無數(shù)個根，否則無根，但總之不會有兩個根。題設(shè)條件和結(jié)論矛盾。

因此，本題不能用反證法來處理。

但是，如果原題改為“如果對于任何正數(shù)，只存在正實(shí)根，則系數(shù)”，就能用反證法證明了。

點(diǎn)評：通過分析例題3、例題4，可以得出對于下列命題，較適用反證法來解決：

第一，對于結(jié)論是否定形式的命題；

第二，對于結(jié)論是以“至多”，“至少”或“無限”的形式出現(xiàn)的命題；

第三，對于結(jié)論是以“唯一”或“必然”的形式出現(xiàn)的命題；

第四，對于可利用的公理定理較少或者較以與已知條件相溝通的命題。

三、結(jié)論

牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧！狈醋C法之所以有效是因?yàn)樗鼘Y(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的。對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一。

參考文獻(xiàn)：

［1］趙杰.反證法――化難為易的法寶.中學(xué)生數(shù)理化（高二版），2010，（3）.

篇（4）

反證法大致又可以分為以下兩種類型.

1.歸謬法：論題結(jié)論的反面只有一種情況，只要把這種情況就達(dá)到了證明目的，如本文中的例1和例3.

2.窮舉法：論題結(jié)論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結(jié)論正確，如本文中的例2.

反證法常用于以下幾種命題的證明.

一、命題中不易找出可以直接推證的關(guān)系

例1 在同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d，若a與b相交，ac，bd.求證：c與d相交.

證明：假設(shè)c∥d.因?yàn)閍c，所以ad.又因?yàn)閎d，所以a∥b.這與已知a與b相交矛盾，所以c與d相交.

二、命題中含有“不”、“無”等詞（稱作否定形式的命題）

例2 求證：當(dāng)n為自然數(shù)時，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差.

證明：假設(shè)有整數(shù)a、b，使a2-b2=2（2n+1），即（a+b）（a-b）=2（2n+1）.

當(dāng)a、b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時，a+b和a-b皆為偶數(shù)，則（a+b）（a-b）應(yīng)為4的倍數(shù)，但2（2n+1）除以4余2，與假設(shè)矛盾.

當(dāng)a、b為一奇一偶時，a+b和a-b皆為奇數(shù)，則（a+b）（a-b）應(yīng)是奇數(shù)，但2（2n+1）是偶數(shù)，與假設(shè)矛盾.

所以假設(shè)錯誤，即2（2n+1）形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差.

篇（5）

近世代數(shù)是一門較抽象的課程.它的主要研究對象是代數(shù)系統(tǒng)，即帶有運(yùn)算的集合.由于內(nèi)容抽象，初學(xué)者往往會感到困難重重，尤其對于證明，不知如何從哪方面下手.其實(shí)，在掌握好它的基本概念、性質(zhì)和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是數(shù)學(xué)證明里常用的，如，類比、歸化、轉(zhuǎn)化、反證等.反證法在近世代數(shù)的證明中用途極其廣泛.它在數(shù)學(xué)命題的證明中有直接證法所起不到的作用，如果能恰當(dāng)?shù)厥褂梅醋C法，就可以化繁為簡、化難為易、化不可能為可能.

反證法是分析問題和解決問題的一種科學(xué)方法.反證法又叫歸謬法、背理法，是數(shù)學(xué)中常用的一種命題證明方法.反證法是對數(shù)學(xué)命題的一種間接證法，其理論依據(jù)是形式邏輯中的“排中律”和“矛盾律”.這種方法是從反面進(jìn)行證明，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾，使命題獲得證明.有關(guān)“存在性”、“否定性”、“無限性”的命題，應(yīng)用反證法的情況較多.在近世代數(shù)中，有些問題直接利用定理結(jié)論證明或用定義直接驗(yàn)證較困難時，可考慮使用反證法.本文就子群的階、同構(gòu)、主理想、素理想四個近世代數(shù)中幾個重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容展開討論，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中由此能得到點(diǎn)滴啟發(fā).

反證法證題的步驟是：1.反設(shè)：反設(shè)是應(yīng)用反證法證題的第一步，也是關(guān)鍵一步，反設(shè)的結(jié)論作為下一步“歸謬”的一個已知條件.反設(shè)的意義在于假設(shè)所有證明的命題的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立；2.歸謬：“歸謬”是一個用反證法證題的核心，其含義是從命題結(jié)論的“反設(shè)”及原命題的已知條件出發(fā)，進(jìn)行正確嚴(yán)密的推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的結(jié)果；3.結(jié)論：指出“反設(shè)”是錯誤的，原命題結(jié)論必正確.

1.反證法在子群階中的應(yīng)用

例1.設(shè)p，q是兩個素?cái)?shù)，且p

分析：這個結(jié)論易通過Sylow定理得到，但[1]中沒有涉及Sylow定理，通過反證法可輕松證得.題目要證明至多存在一個子群，我們可以假設(shè)存在兩個不同的子群.

證明：設(shè)H，K是群G的兩個不同的q階子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素?cái)?shù)，故|H∩K|=q或1.

若|H∩K|=q，則由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，與H≠K矛盾.

注：從這一例題中可以看到，直接說明pq階群G最多有一個q階群難度相當(dāng)大，但如果假設(shè)有兩個不同q階子群，通過推理出現(xiàn)矛盾，則說明最多有一個q階子群.

2.反證法在同構(gòu)中的應(yīng)用

同構(gòu)在近世代數(shù)中是一個非常重要的基本概念.如果忽略掉同構(gòu)的對象的屬性或操作的具體定義，單從結(jié)構(gòu)上講，同構(gòu)的對象是完全等價(jià)的.簡單來說，同構(gòu)是一個保持結(jié)構(gòu)的雙射.在更一般的范疇論語言中，同構(gòu)指的是一個態(tài)射，且存在另一個態(tài)射，使得兩者的復(fù)合是一個恒等態(tài)射.

換言之，G的乘法表是唯一確定的.因此階為6的非交換群存在且互相同構(gòu).

注：這一證明題不是一開始就給予結(jié)論否定，而是在證明中部分地方利用了反證法.如|b|≠3.若|b|=3，則在后面的推論中出現(xiàn)矛盾.

3.反證法在環(huán)中的應(yīng)用

例3.證明卡普蘭斯基（Kaplansky）定理：設(shè)R是一個有單位元用1表示的環(huán)，如果R的元素a有一個以上的右逆元，則a就有無限多個右逆元.

4.反證法在理想中的應(yīng)用

注：說明極大理想都是素理想，可以假設(shè)有一個極大理想不是素理想，根據(jù)這一假設(shè)推出矛盾.

數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練是實(shí)現(xiàn)“授之以漁”教學(xué)舉措的有效手段，我們應(yīng)該在教學(xué)中有意識、有計(jì)劃、有目的地利用不同類型的問題，從不同視角、不同途徑分析、思考和探索，幫助學(xué)生拓展證題思路，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).善于反思，巧妙利用反證是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法和策略，不僅能揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律和相互關(guān)系，更能從復(fù)雜問題中找到突破口，從而避免繁瑣的證題過程，有效提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索和創(chuàng)新精神.

參考文獻(xiàn)：

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]汪秀羌.反證法的應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，1997，2：163-166.

篇（6）

一、非命題

非命題是高中數(shù)學(xué)的簡易邏輯中出現(xiàn)的概念，而在實(shí)際生活中，非命題類的語句也經(jīng)常用到.“非”是否定的意思，對命題進(jìn)行否定得出的新命題，我們稱之為非命題.所以，當(dāng)某一個命題為真命題時，將之否定得到的就是假命題，同樣，若一個命題為假命題時，將之否定則是一個正確的命題，即真命題.一般情況下的這樣兩個命題稱為一組“互非命題”.

我們來看一句話，為表述方便，把它記為A：“0的倒數(shù)是0.”這句話可以判斷真假，我們稱之為命題，又因?yàn)?/0在初等數(shù)學(xué)中沒有意義，所以命題A是假命題，那么，將之否定將得到真命題，也即非A命題：“0的倒數(shù)不是0”是真命題.這是數(shù)學(xué)上的推理，然而在我們的日常口語習(xí)慣中，0的倒數(shù)既然沒有意義，也就是前提不存在，那么結(jié)果無論是等于0還是不等于0都是不正確的.數(shù)學(xué)與邏輯有矛盾嗎？

數(shù)學(xué)是頭腦的體操，是邏輯的推演，結(jié)論是確定的、可控的，我們說“數(shù)學(xué)的世界里沒有騎墻派”，當(dāng)然不會產(chǎn)生矛盾.我們把剛才的命題數(shù)學(xué)化，寫成條件命題的標(biāo)準(zhǔn)形式，若p則q形式，改寫如下：若x=0則1/0=0；那么非命題為若x=0則1/0≠0，我們將1/0≠0理解成：這個整體可能根本不存在（無意義），也可能取某一個非零的值.換言之，它不僅包括原命題的反面內(nèi)涵（也即非零值），還包括與之相關(guān)聯(lián)、相和諧的一系列的相關(guān)外延.正是這一系列內(nèi)涵與外延的獨(dú)立，才使得利用逆否命題可以證明原命題.

二、反證法

反證法可以用來證明任何學(xué)科領(lǐng)域的命題.一般的，由證明若p則q形式，轉(zhuǎn)而證明非q推出一系列結(jié)論，從而推出一個全新結(jié)論t，其中t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定非p為假，推出p為真命題.證明的一般步驟一般有三個：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.下面對這三個步驟詳加說明.

步驟一：正確地作出反設(shè).否定結(jié)論是正確運(yùn)用反證法的前提，需注意所作出的反設(shè)必須包括與結(jié)論相反的所有情況，而提出否定假設(shè)相當(dāng)于增加了一個已知條件.

步驟二：推出矛盾是用反證法證明命題的關(guān)鍵.在證明和推導(dǎo)過程中，已知的一些定義、定理、已知條件都正常應(yīng)用，提出的反設(shè)也作為一個已知條件參與證明和推導(dǎo).需要注意的是如果否定事項(xiàng)只有一個，我們只要把這個反面駁倒，就能肯定原命題成立，如果否定事項(xiàng)不止一個時，就必須將結(jié)論所有否定逐一駁倒，才能肯定原命題成立.

步驟三：矛盾判定.需要針對具體問題看待矛盾，一般情況下，是與已知條件矛盾，特殊情況下，雖與已知條件相符（已知條件可在步驟一中參與推理），但與其他定義、定理、公理、事實(shí)等矛盾.

步驟四：既然產(chǎn)生了矛盾，必須推究產(chǎn)生的原因，因?yàn)樵诓襟E二中的推演是合乎邏輯的正常推導(dǎo)，所以問題只能出在步驟一上，換言之，其反設(shè)有問題，由錯誤的條件產(chǎn)生的矛盾的結(jié)論，從而證明了原命題的正確.

三、逆否命題

在邏輯中的命題除了陳述和判定的語氣、結(jié)構(gòu)外，有些是在一定條件下的判斷，也即：

在某種條件下成立某一結(jié)論，這種情形通俗點(diǎn)說就是“如果怎樣則結(jié)果如何”，在數(shù)學(xué)上稱為“若則命題”，一般表示為“若p則q”，而與之等價(jià)的命題為“若非q則非p”，這種命題將原命題的條件用非命題的形式作為新命題的結(jié)論，將結(jié)論的非命題作為新命題的條件，我們稱之為原命題的逆否命題.

在本質(zhì)上講，原命題與逆否命題的等價(jià)性是反證法證明的邏輯基礎(chǔ).原命題為“若p則q”，則反證法的第一個步驟尋找反設(shè)，也即是認(rèn)定非q的過程，步驟二的推導(dǎo)，也即“若非q則非p”的過程，步驟三的矛盾判定，實(shí)際就是非p的判斷，步驟四本質(zhì)上就是原命題與其逆否命題的等價(jià)認(rèn)定過程.

綜合以上，我們知道，邏輯判斷過程中的逆向思維是以“非命題”形式作為基礎(chǔ)，以“逆否命題”作為橋梁，以“反證法”作為實(shí)踐手段實(shí)現(xiàn)的，而且，在逆向思維的應(yīng)用中，已知的情況以及使之成立的一切條件和與之相符相伴相和諧的一切都在逆向判斷的范疇內(nèi)，所以邏輯是思維的過程，而數(shù)學(xué)是思維發(fā)展的產(chǎn)物，邏輯與數(shù)學(xué)是共生共存的關(guān)系，并且兩者會相互促進(jìn)、共同發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]顧銀麗.反證法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（15）.

篇（7）

反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾的命題，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了原命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。

具體的實(shí)施步驟為：第一步：反設(shè)，即作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步：歸謬，即將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步：存真，即說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

立體幾何較其它學(xué)科而言有困難的一面，其中有些問題簡直叫人束手無策。當(dāng)山重水復(fù)疑無路時，若遵循“正難則反”的解題原則，應(yīng)用反證法，則常可柳暗花明又一村。況且反證法是常用的數(shù)學(xué)解題方法。現(xiàn)列舉反證法解決立體幾何的幾類棘手問題，以期拋磚引玉。

現(xiàn)列舉反證法在立體幾何證明中的一些常見應(yīng)用，以供參考。

1、證明2條直線是異面直線

證明2條直線是異面直線可以用“平面內(nèi)的直線與過平面外一點(diǎn)及平面內(nèi)不在該直線上的一點(diǎn)的直線是異面直線”這一結(jié)論，但常用的還是反證法。

例1 如下圖所示，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P， A∈a， D∈a， B∈b，E∈c，求證BD和AE是異面直線。

證明 設(shè)BD和AE不是異面直線，則BD與AE確定一個平面β，有A∈β， B∈β，E∈β，D∈β。因?yàn)锳∈a，D∈a，所以a β。

又因?yàn)镻∈a，所以P∈β。因P∈b，B∈b，所以b β。因E∈c，P∈c，所以c β，這與a、b、c不共面矛盾，從而有BD和AE是異面直線。

2、否定性命題

當(dāng)結(jié)論以“沒有…”、“都不…”、“不是…”、“不能…”、“不存在…”等否定形式出現(xiàn)時，由于直接法證明不易入手，可以考慮用反證法證明。

例2證明：在空間中不可能有這樣的多面體存在，它們有奇數(shù)個面，而它們的每個面又都有奇數(shù)條邊。

分析：條件中出現(xiàn)“奇數(shù)個面”、“奇數(shù)個邊”，由此聯(lián)想到奇數(shù)的性質(zhì)，借助于奇數(shù)的性質(zhì)來證明結(jié)論。

證明：假設(shè)存在這樣的多面體。它有n個面（n為奇數(shù)），每個面的邊數(shù)分別是S；、S：、…、S n（S，、52…S。都是奇數(shù)），并設(shè)多面體的總邊數(shù)是5。因?yàn)槊織l邊都是兩個面公有的，所以S；十52+…+S。~25。此式的左邊是奇數(shù)個奇數(shù)的和，仍然是奇數(shù)；而右邊是偶數(shù)，這是不可能的。所以命題得證。

說明：在命題結(jié)論中涉及否定論斷，因?yàn)樵俜穸ň褪强隙ǎ鴮τ诳隙ǖ慕Y(jié)論一般比原結(jié)論更具體明確，易于證明。

3、此前無定理可直接引用

學(xué)習(xí)立體幾何的初始階段，有時面對題目中需證的結(jié)論，由于所學(xué)定理很少，往往沒有能從正面直接可用的定理，顯得無法入手。此時若用反證法，很可能豁然開朗，化難為易。

例3 已知四邊形ABCD的四個角ABC、BCD，CDA、DAB都是直角，求證四邊形ABCD是矩形。

A

分析 要證四邊形ABCD是矩形，因其四個角都是直角，故只要證明四邊形是平面四邊形即可。

證明假設(shè)四邊形ABCD的四條邊不在同一個平面內(nèi)，不妨設(shè)邊BC，CD在平面a內(nèi)，則AB ，AD都在平面a外。

作AA'a于A'，連結(jié)A'B，A'D，則由AB上BC，ADCD，根據(jù)三垂線逆定理得A'BBC，A'DCD。從而平面四邊形A' BCD中有三個直角，則四邊形A'BCD是矩形， BA'D=900，BD2=A'B2+A' D2。

又在RtABD中，BD2= AB2 + AD2，因而有A'B2+A'D2=AB2+AD2。但由A'B < AB，A' D < AD，知A'B2+A'D2

所以假設(shè)不成立，則四邊形ABCD是平面四邊形，進(jìn)而是矩形。

4、數(shù)量上無限的某種元素

結(jié)論是數(shù)量上無限的某種元素都具有某種特征的命題，無法把這些元素一一列舉出來給以直接證明，這時可采用反證法證明其中任意一條莫不具有這種特征。

例4 過已知平面外一點(diǎn)且平行于該平面的直線，都在過已知點(diǎn)平行于該平面的平面內(nèi)。

5、運(yùn)用反證法應(yīng)注意的問題

（1）窮舉法的運(yùn)用。如果原命題的否定只有一面，那么只須把這一面，這種單純的反證法叫歸繆法：如果命題題斷的否定不只是一面，此時必須將其各面都駁倒，才能肯定原來的題斷成立。這種較繁的反證法叫窮舉法。我們在運(yùn)用反證法時，要注意窮舉法的運(yùn)用。例如已知：a//b，a =A，求證：b和 必相交于一點(diǎn)。用反證法證明時，應(yīng)假設(shè)b和 不相交于一點(diǎn)，然而不相交于一點(diǎn)包含兩個方面，一是b ，二是b// ，因此必須分兩個方面予以推論而得：b 不可能，及b// 也不可能，從而得出b和必相交于一點(diǎn)。

（2）反證法時的圖設(shè)。用反證法證題時，假設(shè)和命題的事實(shí)是相矛盾的。因此在空間圖形的圖設(shè)中，不可能用一個圖形把兩個相互矛盾的方面同時反映出來。所以作圖時，我們常常把所作的圖形故意加以歪曲。

（3）反證法的圖設(shè)大致可分三類：一類是按事實(shí)原本無法成型的。這類題目在應(yīng)用反證法時，我們應(yīng)對事實(shí)作全部的歪曲，也就是在證題過程中作出一個假設(shè)成立的四棱錐，并且它符合題設(shè)給我們的條件。第二類是在正確的圖形中，添補(bǔ)局部與事實(shí)不符的圖形。第三類，是按題設(shè)可以正確作出圖形的，此類題目也就不必對圖形加以歪曲。

參考文獻(xiàn)：

[1]郝睿達(dá).立體幾何中的反證法[J].數(shù)理化解題研究（高中版）,2007(3)

篇（8）

數(shù)學(xué)是一門注重培養(yǎng)學(xué)生思維的學(xué)科。《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用，要注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握。”長期的實(shí)踐表明，如果按部就班的對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，會導(dǎo)致學(xué)生形成思維定式。而有意識的對學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，有利于幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變錯誤的觀念，形成正確認(rèn)知，而且有利于幫助學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新思維。本文結(jié)合筆者多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，就“高中數(shù)學(xué)教學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)”這一課題淺談如下自己的看法。

一、什么是逆向思維

所謂逆向思維，是一種創(chuàng)造性思維，它是指與原先思維相反方向上的思維。相對正向思維而言，它是與人們常規(guī)思維程序相反的，不是從原因（或條件）來推知結(jié)果（或結(jié)論），而是從相反方向展開思路去分析問題、得出結(jié)論。

逆向思維就是突破習(xí)慣思維的束縛，做出與習(xí)慣思維方向相反的探索。如果學(xué)生有逆向思維的能力，采用這種思維去解決問題，就很容易找到解題的突破口，尋找到解題的方法和恰當(dāng)?shù)穆窂剑菇忸}過程簡潔而新穎，逆向思維不僅可以加深對原有知識的理解，還可以從中發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律，或許會創(chuàng)造出更新更好的方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中有目的地設(shè)汁一些互逆型問題，能從另一個角度去開闊學(xué)生的思路，就會促使學(xué)生養(yǎng)成從正向和逆向兩個方面去認(rèn)識、理解、應(yīng)用新知識的習(xí)慣，從而提高學(xué)生分析問題和解決問魎的能力。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)途徑

1.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中訓(xùn)培養(yǎng)逆向思維。高中數(shù)學(xué)中的概念、定義總是雙向的，不少教師在平時的教學(xué)中，只注意了從左到右的運(yùn)用，于是形成了思維定勢，對于逆用公式法則等很不習(xí)慣。因此在概念的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解概念本身及其常規(guī)應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展。

2.在解題教學(xué)中的培養(yǎng)逆向思維。解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要手段之一，因此教師在進(jìn)行解題教學(xué)時，應(yīng)充分進(jìn)行逆向分析，以提高學(xué)生的解題能力。

（1）順推不行則逆推。有些數(shù)學(xué)題，直接從已知條件入手來解，會得到多個結(jié)論，導(dǎo)致中途迷失方向，使得解題無法進(jìn)行下去。此時若運(yùn)用分析法，從命題的結(jié)論出發(fā)，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。

（2）直接不行換間接。還有一些數(shù)學(xué)題，當(dāng)我們直接去尋求結(jié)果十分困難時，可考察問題中的其他相關(guān)元素從而間接求得結(jié)果。

3.利用反證問題培養(yǎng)逆向思維。反證法實(shí)質(zhì)上是證明命題的逆否命題成立，即當(dāng)命題由題設(shè)結(jié)論不易著手時，而改證它的逆否命題，是從題斷的反面出發(fā)，以有關(guān)的定義、定理、公式、公理為前提，結(jié)合題設(shè)，通過推理而得出邏輯矛盾。從而得知題斷的反面不能成立。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論一推導(dǎo)出矛盾一結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。

4.強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練。一組逆向思維題的訓(xùn)練，即在一定的條件下，將已知和求證進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成一種與原題目相似的新題型。在研究、解決問題的過程中，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生去做與習(xí)慣性思維方向相反的探索。其主要的思路是：順推不行就考慮逆推；直接解決不了就考慮間接解決；從正面入手解決不了就考慮從問題的反面入手；探求問題的可能性有困難就考慮探求其不可能性。

5.靈活運(yùn)用基本數(shù)學(xué)方法，促進(jìn)逆向思維發(fā)展。

（1）分析法是從結(jié)論出發(fā)“執(zhí)果索因”，步步尋求結(jié)論成立的充分條件，它只要求每相鄰的兩個論斷中，后一個是前一個的充分條件（不一定等價(jià)），用分析法思考，要論證的結(jié)論本身就是出發(fā)點(diǎn)，學(xué)生知道了應(yīng)從什么地方著手，能自覺地、主動地去思考，學(xué)生的解決問題的信心便大大增強(qiáng)了。“由因?qū)Ч钡姆椒ㄍǔ７Q為綜合法。分析法和綜合法各有千秋，可以互相彌補(bǔ)對方的不足。在實(shí)際論證一個命題時，先用分析法思考發(fā)現(xiàn)可以作為論證出發(fā)點(diǎn)的真命題，再用綜合法表達(dá)出證明過程，兩者配合起來，在教學(xué)中運(yùn)用十分廣泛，且分析法常用于不等式和恒等式的證明。

（2）逆證法雖然也是從結(jié)論出發(fā)，但它與分析法還是有區(qū)別的，逆證法要求推理過程中，任何兩論斷都互為充要條件，逆證法首先對不等式或恒等式進(jìn)行變形，逐步推出一個已知的不等式或恒等式，這比較直截了當(dāng)，檢查這些變形是可逆的并不困難，但在一般情況下使用逆證法并不省事，應(yīng)讓學(xué)生重點(diǎn)掌握分析法。

參考文獻(xiàn)：

篇（9）

        二、克服反證法教學(xué)心理障礙

        學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程包括圖式—同化—順應(yīng)—平衡等四個過程。當(dāng)一個新知識出現(xiàn)時，學(xué)生首先是用舊的認(rèn)識結(jié)構(gòu)對其進(jìn)行解釋與吸收，將新知識納入原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)之中。當(dāng)原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)不能解釋，不能容納新知識時，則內(nèi)部系統(tǒng)及對原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新改組，擴(kuò)大。使之足以包攝新知識，達(dá)到新的平衡。學(xué)生在以往學(xué)習(xí)的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會與原有的知識系統(tǒng)和認(rèn)識圖形相互矛盾。他們在具體證明某一題目時，只須將題目具體內(nèi)容“同化”到他們原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經(jīng)形成了他們進(jìn)行演繹推理的心理基礎(chǔ)，成為他們達(dá)到心理平衡的依據(jù)。運(yùn)用直接證明方法時，也有心理障礙存在，但那是由于在錯覺影響下，或在下意識作用下的原因所造成的。而學(xué)習(xí)反證法時，推理過程中出現(xiàn)的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯覺或下意識是不同的。要使學(xué)生真正掌握反證法。不將學(xué)生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進(jìn)行“順應(yīng)”的過程，是不可能的。反證法的教學(xué)，不應(yīng)拘泥于教材，宜采取分散難點(diǎn)，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計(jì)劃地落實(shí)到教學(xué)之中，著重培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行形式演繹的能力。

        結(jié)果，指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時，一定要突出兩點(diǎn)：一是要將結(jié)論的反面當(dāng)成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結(jié)果，否則就不能導(dǎo)致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設(shè)不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應(yīng)是無懈可擊的，其矛盾的產(chǎn)生并非別的原因，只因反設(shè)不成立所致。同時，導(dǎo)致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。

        二是與已學(xué)定義、公理、定理相矛盾。三是與題設(shè)相矛盾。

        3、“結(jié)論”的練習(xí)：“反證法”中的結(jié)論是指最后得出所證命題的結(jié)論。教學(xué)時，一定要嚴(yán)格要求“結(jié)論”準(zhǔn)確。否則，將前功盡棄。

        （四）比較辨析，恰當(dāng)運(yùn)用“反證法”

        “反證法”在幾何、代數(shù)、三角等方面都能應(yīng)用。教學(xué)時，為了擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生積極性，可適當(dāng)補(bǔ)充這方面的練習(xí)題。另一方面，學(xué)生學(xué)了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結(jié)果使一些簡單問題復(fù)雜化了，以致弄巧成拙。教學(xué)時還應(yīng)強(qiáng)調(diào)，什么時候用“直接證明法”，什么時候用“反證法”，應(yīng)依所證命題的具體情況恰當(dāng)使用。

原則上是“以簡

  （一）淺顯事例引入“反證法”的基本思想

學(xué)生剛接觸“反證法”時，對于此法中根據(jù)排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學(xué)時，可通過學(xué)生已有實(shí)踐體會的淺顯的生活方面的事例讓學(xué)生逐步領(lǐng)會。開始將“反證法”用于解題時候，也宜于用學(xué)生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。

        （二）精講例題，找出“反證法”的基本規(guī)律

有前面的基礎(chǔ)，就要注意講好每一個具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時的第一個例題。教學(xué)時，宜于運(yùn)用具體的幾何實(shí)例。逐步說明證明的過程，并啟發(fā)學(xué)生沿著思維規(guī)律進(jìn)行思考，得出“反證法”的一般步驟和規(guī)律：

        1、反設(shè)：將結(jié)論的的反面作為假設(shè)。

        2、歸謬：將“反設(shè)”作條件，由此推出和題設(shè)或者和公理、定義、已證的定理相矛盾的結(jié)果。

        3、結(jié)論：說明“反設(shè)”不成立，從而肯定結(jié)論不得不成立。

        （三）加強(qiáng)練習(xí)，培養(yǎng)用“反證法”證題的基本能力

在學(xué)生初步領(lǐng)會“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應(yīng)靠足夠的練習(xí)來逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“反證法”證題的能力。練習(xí)要有針對性，要重點(diǎn)突出，根據(jù)“反證法”的特點(diǎn)，練習(xí)的著重點(diǎn)應(yīng)放在“反設(shè)”、“歸謬”、“結(jié)論”三個方面。

        1、“反設(shè)”的練習(xí)：“反設(shè)”即為“否定結(jié)論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續(xù)部分，學(xué)生初學(xué)時，往往去否定假設(shè)，教學(xué)時，應(yīng)注意糾正。要突出“反設(shè)”的含義就是“將結(jié)論的反面作為假設(shè)”。在思考途徑上可指導(dǎo)學(xué)生按以下幾步進(jìn)行：第一要弄清所證命題的題設(shè)和結(jié)論各是什么。第二找出結(jié)論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復(fù)。第三否定時用“不”或“不是”加在結(jié)論的前面，再把句子化簡。

        2、“歸謬”的練習(xí)：“歸謬”即“假定結(jié)論的反面成立，而導(dǎo)致矛盾。”就是說將結(jié)論的反面作為條件后，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學(xué)生初學(xué)時，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。

        1、當(dāng)直接證明某個命題有困難或不可能時，可考慮使用“反證法”。

        2、否定性問題：在此類問題中，結(jié)論的反面即可能就更為具體，常常可以由此去推出矛盾，從而否定可能，而肯定了不可能。

        3、唯一性問題：此類問題中，結(jié)論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。

篇（10）

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個或幾個多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和的形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到。

二、因式分解法

因式分解，就是把一個多項(xiàng)式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個有力工具、一種數(shù)學(xué)方法，在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除了中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)法、求根分解法、換元法、待定系數(shù)法等。

三、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

四、判別式法與韋達(dá)定理

一元二次方程a2x+bx+c=O(a、b、c∈R，a≠0)根的判別，=b2―4ac不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形、解方程(組)、解不等式、研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。

五、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。

六、構(gòu)造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法：通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于問題的解決。

七、反證法

反證法是一種間接證法，它先提出一個與命題結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

八、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來證明平面幾何題有時也會收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

九、幾何變換法